Nastavničko akcijsko istraživanje u matematici

1. Uvod

Razmotrimo uvodno primjer poštara.

Poštar raznoseći pisma svakodnevno bavi se pojmom funkcije. Njegova torba je skup pisama. (Matematičari taj skup zovu domenom funkcije.) Svako pismo ima samo jednu jedinu adresu za isporuku. (Matematičari kažu: svaki član domene ima pridruženi jedan jedini element iz kodomene.) Dakle, njegov kvart (ljudi koji u kvartu stanuju) je kodomena funkcije.

U torbi nema niti jednog pisma bez adrese, niti pisma s dvije različite adrese.

Naravno, da svi ljudi u kvartu ne moraju isti dan dobiti pismo, a neki mogu dobiti više pisama.

Sve ovo su značajke koje matematički pojam funkcije ima u svojoj definiciji i da je taj pojam, na određeni način, „ugrađen“ u ljudsko promišljanje i rješavanje realnih/svakodnevnih problema i postupaka.

2. U čemu je problem?

Moje iskustvo rada u nastavi ukazuje na niz problema u poučavanju i učenju pojma funkcije. Međunarodna PISA i TIMSS ispitivanja također ukazuju da učenici s tim pojmom „dobro ne stoje“.

Nažalost, u RH nitko ni sustavno, ni sporadično ne istražuje našu nastavu i njezine rezultate. Prijedlozi koji ugledaju dnevno svjetlo su prijedlozi „od oka“. Tek je nedavno NCVVO objavio pokretanje nacionalnih ispita kojima će dobiti objektivniji uvid u stanje i temeljem tih ispita predložiti promjene.

Sadašnje promjene kurikula su promjene „od oka“ u svakom smislu: sadržajno i formalno.

Dakle, problem je što nema objektivnijeg uvida u očite probleme, a predlažu se poboljšanja ili promjene kurikula.

3. HUNI kao početak promjena

U proljeće ove godine napisao sam elaborat Van Hieleove razine matematičkih postignuća učenika u RH (zajedničko akcijsko djelovanje nastavnika i učenika) koji je napisan na temelju 7 svjetskih doktorskih disertacija i 40-ak znanstveno-stručnih članaka. Uputio sam zamolbu MZO-u koji je nakon preporuke AZOO-a dao odobrenje za ulazak u škole.

Branko Bognar s Filozofskog fakulteta u Osijeku napisao je:

U školi usmjerenoj na promjene učitelji bi trebali preuzeti aktivnu ulogu u procesu istraživanja za razliku od dosadašnje prakse gdje su u najboljem slučaju bili samo korisnici rezultata tuđih istraživanja. S obzirom na taj zahtjev, akcijska istraživanja u mnogočemu odgovaraju potrebama učitelja. Kroz proces akcijskih istraživanja učitelji mogu rješavati uočene probleme i unapređivati praksu u skladu s autonomno postavljenim ciljevima. U središtu akcijskih istraživanja nalazi se akcija, a prikupljeni podaci služe kao povratna informacija na temelju koje je moguće prilagođavati i mijenjati planirane aktivnosti. Time cijeli proces istraživanja postaje fleksibilan i kreativan odgovor na potrebe sudionika istraživanja. Unatoč tome što akcijska istraživanja podrazumijevaju intrinzičnu motivaciju onih koji ih ostvaruju, važno je da u školama postoji poticajno ozračje za ostvarivanje te vrlo zahtjevne profesionalne uloge...
Tradicionalni pristupi stručnom usavršavanju polaze od pretpostavke da je za ostvarivanje promjena dovoljno informirati praktičare o novim mogućnostima koje su vrlo često osmišljene i ispitane izvan njihova profesionalnog konteksta. Za razliku od toga akcijska istraživanja podrazumijevaju aktivnu ulogu praktičara u svim etapama ostvarivanja promjena polazeći od sljedećih pretpostavki:

1. Odgoj je kompleksna djelatnost za koju je vrlo rijetko moguće unaprijed predvidjeti i propisati odgovarajuća rješenja.

2. Za ostvarivanje suštinskih promjena presudno je povoljno društveno ozračje i potpora praktičarima - agentima promjena.

3. Učenje se ostvaruje putem djelovanje i (samo)kritičke rasprave praktičara u okviru zajednica prakse ili zajednica učenja o rezultatima vlastitog djelovanja.

4. Za evaluaciju i prezentaciju vlastitog djelovanja odgovorni su prije svega praktičari.

U akcijskim istraživanjima učitelji problematiziraju uvjete svoga odgojnog djelovanja nastojeći osmisliti, primijeniti i istražiti prikladna rješenja koja su u velikoj mjeri rezultat njihove inovativnosti. Upravo takva, stvaralačka rješenja učitelja, predstavljaju vrlo često najprimjerenije odgovore za probleme s kojima se učitelji u praksi suočavaju.

Ovaj je projekt fokusiran na nastavničko utvrđivanje i povećanje razina postignuća učenika u temeljnom matematičkom pojmu – u pojmu funkcije i konkretnih funkcija koje se podučavaju u školskoj matematici (linearne, kvadratne, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijskih).

Te su funkcije i temelj uporabe matematike u prirodoslovlju (fizici, biologiji i kemiji). Pojam funkcije usko je povezan s računalnom znanošću, računalnim razmišljanjem i programiranjem i kao takav vrlo je važan segment informatike.

U svjetskoj znanosti prevladale su Bloomova taksonomija i van Hieleova teorija (uz Freudenthalova promišljanja koja su izvor RME – Realistic Mathematics Education).

RME koristi pravi problem i kontekstualnu situaciju kao početnu točku učenja. Fenomeni u kojima se matematički pojmovi pojavljuju u stvarnosti trebaju biti izvor koncepcije.

Istraživanja van Hieleovih razina puno bolje daju uvid u matematička postignuća učenika od Bloomove taksonomije (koja je danas u nastavi u RH).

Ovim projektom želimo akcijskim istraživanjem nastavnika saznati/uočiti/naslutiti van Hieleove razine učeničkih postignuća i usporediti ih s teoretskim modelom. Naslućujemo da će naši učenici dostizati jednu razinu, a preskakati neku drugu i da će u tom smislu trebati intervenirati u poučavanje i učenje.

Od objavljivanja, ova je teorija znanstveno potvrđena raznim metodama i danas više nema sumnji u njezinu valjanost. Svatko od učenika (i ne samo učenika!) nalazi se na određenoj van Hieleovoj razini mišljenja, a učenici iste dobi često su na različitim razinama. Pritom se većina učenika nižih razreda osnovne škole nalazi na nultoj razini, a rijetko koji učenik osmog razreda na razini višoj od druge. Pravilno prepoznavanje o kojim se razinama radi i usklađivanje poučavanja s tim razinama pridonijet će kvaliteti nastave i učeničkom uspjehu u savladavanju koncepata.

Istraživanja koja su provedena u svijetu ukazuju da učenici u prva tri razreda gimnazije mogu dostići najviše 3. van Hieleovu razinu. Tek u četvrtom razredu gimnazije mogu dostići 4. van Hieleovu razinu. Najviša van Hielova razina "rezervirana" je za studente.

Ovim akcijskim istraživanjem, uz aktivno sudjelovanje i nastavnika i učenika, želimo utvrditi može li se prezentiranjem i rješavanjem zadataka koji su strukturirani prema van Hielovim razinama povećati postotak učenika koji dostižu 3. i 4. razinu.

Ovim akcijskim istraživanjem načinit ćemo mali, početni korak nastavničkih promišljanja nastave i činjenica vidljivih na dijagramu.

Za provođenje ovog projekta (kao i u drugim predmetima) utemeljili smo udrugu Hrvatska udruga nastavnika istraživača (HUNI) (http://www.huni.hr s e-adresom Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Potrebno je omogućiti JavaScript da je vidite. ) i pokrenuli smo kampanju za prikupljanje sredstava za realizaciju istraživanja.

Zadatke/testove rješavat će se u sljedećim školama:

a) Gimnazije: I. osječka, XV. i XII. zagrebačka, III. splitska, zadarska F. Petrića, riječka A. Mohorovičića, pulska, vukovarska i metkovička,

b) Osnovne škole: osječka F. K. Frankopan, zagrebačka M. Gubec, splitska Skalice, zadarska S. Budinića i pulska Vidikovac.

U osnovnim školama anonimno će se testirati po jedan 8. razred, a u gimnazijama po jedan 1., 2., 3. i 4. razred.
Škole i nastavnici koji se, uz ove, žele uključiti u istraživanje mogu se prijaviti na adresu HUNI-ja.

Za aktivne sudionike istraživanja organizirat će se 25. i 26. travnja 2019. godine znanstveno-stručni skup i radionice na Sveučilištu u Zadru na kojima će biti prihvaćeni testovi za pojedini razred. Sudjelovati na skupu mogu i svi ostali hrvatski nastavnici zainteresirani za ovo istraživanje.

U kreiranje testova (zajedno s nastavnicima) i u analizu rezultata uključeni su kao kritički prijatelji naši sveučilišni nastavnici i svjetski eksperti Michael de Villiers i Hannah Barnes.

Test bi se proveo u svibnju 2019. godine. Sukladno rezultatima istraživanja test bi se doradio i sljedeće školske godine proveo u istim školama, ali s drugim učenicima.

Sukladno rezultatima rješavanja zadataka i iskustvu nastavnika u ovom akcijskom istraživanju "standardizirali" bi se zadatci (tj. primjeri zadataka) sukladno van Hieleovim razinama i uzrastu učenika. Na ovaj bi se način moglo ukazati na transparentno ujednačavanje i povezanost dostignute razine sa znanjem iz matematike.

Nakon akcijskog istraživanja zadatci, postignute razine i iskustva uobličit će se u Priručnik za nastavnike, učenike i roditelje i na taj način povećati ujednačavanje znanja i ishoda samih učenika. Priručnik bi drugim zainteresiranim učiteljima/nastavnicima omogućio da se i sami "okušaju" u promišljanju rješavanja problema u svojoj nastavi (poučavanju i učenju).

Napisani bi se priručnik o razinama naše djece sa zadatcima za pojedinu funkciju za nastavnike, roditelje i ostalu javnost stavio na uporabu na web stranici HUNI-ja. Napisalo bi se i stručno izvješće za MZO i AZOO.

4. Nekoliko primjera

Kao ilustraciju drukčijeg pristupa zadatcima navedimo nekoliko primjera.

Primjer 1. Ako je u tablici y proporcionalan s x, koliki su onda P i Q?

Primjer 2. Dane su stube koje se grade pomoću kvadrata sa stranicom 1 cm (v. sl.).

Q1. Kako se mijenja opseg promjenom uzlaznog broja koraka? Zašto mislite da je to tako?
Q2. Kako se mogu povezati broj koraka i opseg?
Q3. Koliki je opseg ako imamo 10 koraka?

Primjer 3. Napišite što možete uočiti u sljedećim tablicama?

Primjer 4. Pod pretpostavkom da se logaritmi na slici dolje desno ponašaju kao i uobičajeni, možete li odrediti logaritme koji nedostaju na slici?

B) Naš brojni sustav temelji se na broju deset. Na kojem se broju temelji logaritamska funkcija na slici dolje?
C) Koji broj u tom sustavu ima logaritam jednak 2?

Primjer 5.

Petar Mladinić
Školske novine